quinta-feira, 31 de outubro de 2013

MATEMATICA PARA CONCURSOS PORCENTAGEM

Questões Resolvidas de Porcentagem para Concursos

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Porcentagem, um assunto constante em concursos públicos agora abordado no blog em forma de exercícios. Muitos candidatos apresentam dificuldades para resolver problemas envolvendo porcentagens, neste post você aprenderá a forma como estes problemas aparecem em concursos e claro tirar suas dúvidas, pois também apresentamos as soluções das questões. Aprenda mais fazendo mais.
Selecionamos questões das principais bancas organizadoras de concursos e não só resolvemos, mas procuramos ser o mais didático possível para que você – que acompanha o Cálculo Básico – tenha condições de aprender de fato.
Caso tenha dúvidas sobre o conceito, operações e propriedades sobre porcentagem, aconselhamos ler o post Porcentagem: conceito, operações e propriedades, onde verificará que os problemas envolvendo porcentagem são resolvidos basicamente de  três modos a saber: utilizando conhecimento sobre frações, razões e regra de três.
Veja abaixo os enunciados e logo em seguida as resoluções.
Juros Simples para concursos – toda a teoria

Enunciados das Questões

1. Um acordo entre o sindicato de determinada categoria e o sindicato patronal definiu que as porcentagens de reajuste salarial para o próximo biênio (2013-2014) serão definidas pela soma (IPCA do ano anterior + aumento real). A tabela a seguir mostra os percentuais de aumento real que foram acordados para cada ano, bem como as projeções para o IPCA.
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SOLUÇÃO
Considerando os dados da tabela, o salário de 2014 de um trabalhador dessa categoria deverá ser x% maior do que o seu salário de 2012. O valor de x é
(A) 18,0
(B) 18,4
(C) 18,8
(D) 19,6
(E) 20,0
Questão 1
Em questões deste tipo, torna a resolução mais simples supor um determinado valor para o salário do trabalhador já que o aumento percentual independe do valor do salário, mas devemos supor um valor que torne fácil os cálculos envolvidos.
Vamos supor que o salário do trabalhador em 2012 era de R$ 1000,00.
A porcentagem de aumento para cada ano (do biênio) é dada como a soma de IPCA do ano anterior + aumento real. Então,
Em 2013 :
IPCA = 6,0% e aumento real = 2,0%, logo a porcentagem de aumento = 8,0%.
Salário em 2013 = 1000 + 8% de 1000 = 1000 + 80 = 1080 reais.
Em 2014:
IPCA = 7,5% e aumento real = 2,5%, logo a porcentagem de aumento = 10%.
Salário em 2014 = 1080 + 10% de 1080 = 1080 + 108 = 1188 reais.
Agora, vejamos que o salário do trabalhador foi de R$ 1000,00 a R$ 1188,00 um aumento de R$ 188,00 e por uma regra de três simples direta resolvemos o problema, sendo x o valor percentual procurado, temos:
R$              %
1000          100
188               x
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2. Fábio contratou um empréstimo bancário que deveria ser quitado em 30 de março de 2012. Como conseguiu o dinheiro necessário 30 dias antes dessa data, Fábio negociou com o gerente e conseguiu 5% de desconto. Assim, quitou o empréstimo antecipadamente, pagando R$ 4.940,00. Qual era, em reais, o valor a ser pago por Fábio em 30 de março de 2012?
(A) 5.187,00
(B) 5.200,00
(C) 5.871,00
(D) 6.300,00
(E) 7.410,00

SOLUÇÃO

Questão 2
Vamos resolver este problema de dois modos:
1º Modo:
Seja p o valor a ser pago no dia 30 de março de 2012. Como Fábio conseguiu um desconto de 5% e pagou R$ 4940,00, vamos montar a equação Matemática para esta situação:
P – 5% de P = 4940 (isto é, o preço p menos os 5%de p deve ser igual a R$ 4940,00) resolvendo,
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Portanto, o valor pago em 30 de março de 2012 será de R$ 5200,00.
2º Modo:
Neste segundo modo, vamos resolver pela regra de três simples direta.
Observe que o valor p em 30 de março de 2012 é o valor de referência, então este é equivalente a 100%. Já o valor de R$ 49400,00 é equivalente a 95%, pois 100% – 5% = 95% (5% de desconto).
R$                  %
p                  100
4940               95
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Novamente, temos o mesmo valor para p, R$ 5200,00 em 30 de março de 2012.

3. Uma creperia vende, em média, 500 crepes por semana, a R$ 20,00 a unidade. O proprietário estima que, para cada real de aumento no preço unitário de venda dos crepes, haverá redução de dez unidades na média semanal de vendas. Com base nessas informações, julgue a afirmação abaixo em certa ou errada.
“Caso o proprietário da creperia aumente em 50% o preço de cada crepe, a média semanal de vendas diminuirá em 50%.”

SOLUÇÃO

Questão 3
Como o preço de um crepe é R$ 20,00, com um aumento de 50%, temos:
20 + 50% de 20 = 20 + 10 = 30, isto é, o preço do crepe passará a ser de R$ 30,00.
Então, aumento 30 – 20 = 10 reais.
Agora, como o aumento de R$ 1,00 no preço do crepe equivale a uma redução de 10 unidades na venda (-10), logo para um aumento de R$ 10,00, teremos uma redução de 100 unidades (10.10 = 100).
Vejamos:
A venda inicial era de 500 crepes por semana. Com o aumento de 50% no preço, passou a ser 400 crepes por semana (500 – 100 = 400).
Veja que a venda semanal diminuiu para 400 crepes e é fácil verificar que 400 não representa 50% de 500, logo a afirmação está errada.


4. Uma loja de roupas recebeu uma remessa com 350 camisas e 150 calças. Das peças recebidas, 8% das camisas estavam sem um dos botões e 6% das calças tinham problemas com o zíper. O total das peças com defeitos representa, em relação ao total de peças recebidas, uma porcentagem de
(A) 10,6%
(B) 9,3%
(C) 8,2%
(D) 7,4%
(E) 6,5%

SLUÇÃO

Questão 4
Precisamos antes, encontrar o total de roupas com defeito, isto é, o número de camisas defeituosas mais o número de calças defeituosas. Vejamos,
8% de 350 = 0,08.350 = 28
6% de 150 = 0,06.150 = 9
28 + 9 = 37 peças de roupa com defeito.
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A razão acima representa a porcentagem pedida no problema, isto é, o total de roupas defeituosas está para o total de roupas adquiridas. Veja mais em
Porcentagem: conceito, operações e problemas
Observação: você pode encontrar a mesma resposta utilizando a forma de regra de três simples direta, como em algumas questões anteriores. Optamos por resolver deste modo somente para mostrar uma outra forma de se encontrar a porcentagem.


5. Em uma pequena cidade, 18% das pessoas são louras. Sabe-se que 30% do homens são louros e 10% das mulheres são louras. Entre as pessoas dessa cidade, a porcentagem de homens é de
(A) 40%
(B) 20%
(C) 30%
(D) 50%
(E) 60%

SOLUÇÃO

Questão 5
Vamos chamar de h o número de homens, m o número de mulheres e p a população total, isto é, p = h + m.
Como 30% dos homens são louros, podemos escrever: 30%.h = 0,3h.
Como 10% das mulheres são louras, podemos escrever: 10%.m = 0,1m.
Como 18% da população é loura e está população (loura) é formada por 30% dos homens mais 10% das mulheres, podemos escrever a seguinte equação:
30%h + 10%m = 18%p
0,3h + 0,1m = 0,18p ( I )
h + m = p ( II )
Como desejamos saber a porcentagem de homens, da relação ( II ), temos:
m = p – h, substituindo em ( I ) vem:
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h = 0,4p
Ora, 0,4 = 40/100 = 40%.
h = 40%p, isto é a população h de homens é 40% da população total p da cidade.


 

Concursos e Juros Simples

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Considerando a importância do assunto juros e de sua aplicação direta no nosso dia a dia, nesta aula vamos nos dedicar a apresentação do conceito de juros simples, as principais fórmulas usadas e observando como esse assunto aparece nas questões de concursos públicos.
Como é de costume aqui no blog, vamos abordar o assunto de forma direta (sem demonstrações) dando embasamento para as provas de concursos, isto é, somente aquilo que você precisa saber para resolver questões de concursos.

Antes de Começar …

Estudar Matemática não é como assistir novela, seja proativo!
Tenha em mãos papel e lápis, sente-se de maneira confortável.
Faça anotações, rabisque, etc.
Procure você mesmo descobrir como se chegou a certo resultado ou valor, antes de perguntar.
Mesmo assim não conseguindo, fique a vontade para nos perguntar.
Bom estudo!
Caso tenha alguma dificuldade sobre porcentagem, veja as aulas:
Porcentagem: teoria e exercícios
Porcentagem: questões de concursos resolvidas

Capital e Juros

Capital é uma riqueza capaz de produzir renda sem a intervenção do trabalho.
Juros é a remuneração recebida pela aplicação de um capital, durante determinado período, a certa taxa. Os juros é o custo do crédito obtido. Pode ser visto também como sendo o valor do aluguel pelo uso do capital.
Exemplos de situações:
a) Depositar dinheiro na poupança, pois renderá juros;
b) comprando algum objeto a prazo terá que pagar juros ou fazer um empréstimo a longo prazo.

Taxa de Juros

Taxa de juros é o uma porcentagem sobre o capital que foi, por exemplo, emprestado durante certo período, apresenta-se na forma porcentual (ex.: 15%) ou unitária (ex.: 0,15).
Aqui chamamos a atenção para o seguinte:
Para a aplicação de fórmulas, a seguir, a taxa e o tempo (período) devem estar na mesma unidade, ou seja, se a taxa for anual, o tempo deve ser dado em anos, se a taxa for mensal, o tempo deve estar em meses, no caso de uma taxa diária o tempo deve ser expresso em dias.

Montante (Valor Capitalizado ou Acumulado)

O montante ou valor capitalizado é a soma do valor do capital inicial com o valor do juro do capital obtido no período de tempo considerado.

Juros Simples (ou Regime de Capitalização Simples)

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No sistema de juros simples, a taxa sempre incidirá sobre o valor do capital inicial, isto é, o juro é sempre determinado sobre o capital inicial.
Ou
os juros correspondentes a cada um dos períodos serão sempre calculados sobre a quantia inicial.
Exemplo: Joaquim emprestou R$ 100,00 a Manoel que, de acordo com o combinado vai pagar ao final de três meses completos, sob uma taxa de juros simples a 10% a.m. (ao mês). Então, Manoel pagará…
Ao final do 1º mês Manoel pagará de juros:
10% de R$ 100,00 = R$ 10,00.
Ao final do 2º mês Manoel pagará de juros:
10% de R$ 100,00 = R$ 10,00.
Ao final do 3º mês Manoel pagará de juros:
10% de R$ 100,00 = R$ 10,00.
Logo o total de juros é de: R$ 30,00 e Manoel pagará R$ 130,00.
Veja que a taxa de 10% em todo período (mês) incidiu sobre o capital inicial (valor emprestado). Essa é a diferença para o sistema de juros compostos, já que neste caso a taxa incide sobre o capital acumulado.

Fórmulas para Cálculo do Juros Simples e Montante

J – juros / C – capital / i – taxa (em valor unitário) / t – tempo / M – montante
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Fórmula para o cálculo dos juros simples
J = C.i.t
Fórmula para o cálculo do montante
M = C + J ou M = C.( 1 + i.t )

Exemplos de Aplicação em Questões de Concursos

Exemplo 1: Um capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 60% ao ano durante 7 meses. Qual o montante dessa aplicação?
Solução:
1º Modo
Do problema temos
C = 20.000       i = 60% a.a.          t = 7 meses           M = ?
Devemos observar que a taxa e o tempo estão em unidades diferentes logo, vamos transformar a taxa para ser aplicada ao mês, basta dividirmos por 12 (1 ano = 12 meses).
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60%a.a. e 5%a.m. são taxas equivalentes a juros simples.
Juro obtido:
J = 20000.0,05.7 = 7000
Montante:
M = 20000 + 7000 = R$ 27000,00.
2º Modo
Aplicando direto na fórmula M = C.( 1 + i.t):
A parte (1 + i.t) da fórmula acima é conhecida como fator de correção.
( 1 + i.t ) = 1 + 0,05.7 = 1,35 é o fator de correção.
M = 20000.1,35 = R$ 27000,00.

Exemplo 2: (TCE-PI) Durante o mês de abril, um capital de R$ 20.000,00 foi colocado no open market (sistema de juros simples) pelo prazo de 24 dias, tendo produzido um montante de R$ 24.800,00. A taxa anual de juros simples a que esse capital esteve aplicado foi de:
a) 30%          b) 80%             c) 120%             d) 360%         e) 720%
Solução:
C = 20.000          M = 24800           t = 24 dias      i = ?
Devemos observar que a taxa é anual e o prazo (tempo) está em dias, vamos fazer a equivalência do prazo para anos.
Outro fato a observar neste problema é de se considerar para o período de 1 ano, 360 dias, conhecido como ano comercial (adotado em juros comerciais). Para o ano civil, 365 dias ou 366 dias (adotado em juros exatos). Considere ano comercial, pois não houve menção de ano civil ou juros exatos.
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1º Modo
Juros do período = 24800 – 20000 = R$ 4.800,00.
Trabalhando na fórmula J = C.i.t, mas antes vamos simplificar
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2º Modo
Utilizando a fórmula M = C.( 1 + i.t ).
Isolando o fator (1 + i.t) no 1º da equação:
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Multiplicando por 100 para converter em porcentagem, temos
i = 3,6 x 100 = 360%.
Exemplo 3: (CEF) Um certo capital aplicado a juros simples durante 15 meses rendeu um determinado juro. Se aplicarmos o triplo desse capital à mesma taxa, em prazo o juro obtido será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação?
A) 5 meses
B) 7 meses e meio
C) 10 meses
D) 12 meses
E) 18 meses
Solução:
Observe que nesta questão não aparecem muitos números, mas fique tranquilo que vamos resolver isso! Como? Vamos nomear algumas incógnitas para representar os dados do problema matematicamente. Vejamos:
“Um certo capital aplicado a juros simples durante 15 meses rendeu um determinado juro.” (1ª aplicação)
Vamos “chamar” esse “certo capital” de C.
Como foi “aplicado a juros simples” ao mês, a taxa vamos “chamar” de i, ou seja, i a.m..
Tempo t = 15 meses.
O “juro” rendido vamos “chamar” de J1.
Utilizando a fórmula J = C.i.n, podemos escrever:
J1 = C.i.15
“Se aplicarmos o triplo desse capital à mesma taxa, em que prazo o juro obtido será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação?” (2º aplicação)
“triplo do capital” será 3.C.
“à mesma taxa” i a.m.
“em que prazo”, vamos chamar de t = ?
O novo juro obtido, vamos “chamar” de J2.
Podemos escrever:
J2 = 3C.i.t
“o juro obtido (J2) será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação (J1)”
Então, temos que:
J2 = 2.J1
Substituindo os valores de J1 e J2.
3Cit = 2Cit \Leftrightarrow 3t = \frac{{30Ci}}{{Ci}} \Leftrightarrow 3t = 30 \Leftrightarrow t = 10meses.

Conclusão

- No sistema de juros simples, a taxa dever ser aplicado sobre o capital inicial;
- Tempo de aplicação e a taxa, devem estar na mesma unidade;
- Fórmulas ajudam, mas observe que no sistema de juros simples não é necessário se preocupar tanto em decorar, entendendo os conceitos, fica fácil lembrar-se das fórmulas.
- Observe que na resolução dos dois primeiros exemplos, dois caminhos foram usados para obter as respostas. Sabemos que em concursos o fator tempo de prova é de suma importância, portanto, evite seguir pelo caminho mais rápido na resolução de uma questão caso você se sinta inseguro, às vezes é melhor demorar um pouco mais em uma questão e ter certeza do que está fazendo do que o contrário.
Exercícios para concursos sobre juros simples
Como diz o ditado – “O que for fazer, faça bem feito.”
E você, ficou com alguma dúvida? Comente!
Curso de Raciocínio Lógico para Concursos
Escrita Eficiente: Redação para Concursos e Artigos.

Exercícios de Juros Simples para Concursos

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Exercícios, algo que não pode faltar para quem está a prestar um concursos público, pensando nisto o blog Cálculo Básico, publica mais uma lista resolvida para lhe ajudar em seu objetivo. Sendo Matemática Financeira tão cobrada em concursos públicos, não poderíamos deixar de abordar este conteúdo, portanto, veja abaixo a lista de exercícios sobre juros simples.
Sugerimos que caso não saiba a parte teórica (definições, fórmulas) acesse nossa aula sobre juros simples que aborda o necessário para concursos no link abaixo.
Teoria – juros simples
Teoria – porcentagem
Porcentagem – questões de concursos resolvidas

Enunciados das Questões

1. Uma loja vende um artigo e oferece duas opções de pagamento: à vista, por R$ 180,00, ou em dois pagamentos iguais de R$ 100,00 cada, sendo o primeiro no ato da compra e o segundo, um mês depois da compra. Qual é a taxa mensal dos juros cobrados de quem compra a prazo?
A) 25%
B) 20%
C) 12,5%
D) 11,1%
E) 10%
2. Um investidor possui R$ 80.000,00. Ele aplica 30% desse dinheiro em um investimento que rende juros simples a uma taxa de 3% a.m., durante 2 meses, e aplica o restante em investimento que rende 2% a.m., durante 2 meses também. Ao fim desse período, esse investidor possui:
A) R$ 83.680,00
B) R$ 84.000,00
C) R$ 84.320,00
D) R$ 84.400,00
E) R$ 88.000,00
3. O capital de R$ 600,00, aplicado a juros simples de 9,5% ao ano, produziu R$ 123,50 de juros. O tempo correspondente à aplicação foi de:
A) 2 anos e 1 mês
B) 2 anos e 3 meses
C) 2 anos e 2 meses
D) 1 ano e 11 meses
4. Marcelo emprestou certa quantia a Augusto, cobrando juros simples de 4% ao mês. Cinco meses mais tarde, Augusto pagou o empréstimo, e Marcelo recebeu R$ 420,00. Qual foi, em reais, a quantia que Marcelo emprestou a Augusto?
A) 320,00
B) 336,00
C) 350,00
D) 382,00
E) 400,00
5. Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de:
A) R$ 4.400,00
B) R$ 4.000,00
C) R$ 3.600,00
D) R$ 3.200,00
E) R$ 2.800,00

Soluções das Questões

Questão 1
Para a resolução deste problema, devemos atentar para o fato de que a taxa de juros cobrada incide sobre o valor que ainda falta a pagar. Veja:
Preço à vista = R$ 180,00.
Preço à prazo = 2 x R$ 100,00 (duas parcelas de R$ 100,00 cada)
Sendo que a primeira parcela deve ser dada no ato da compra.
Comprando a prazo, a pessoa pagará R$ 100,00 e ficará devendo R$ 80,00 em relação ao preço de à vista pagando somente após 30 dias, logo o dinheiro deve ser corrigido no tempo, daí a taxa de juros que incidirá sobre os R$ 80,00 restantes. De R$ 80,00 a pessoa pagará R$ 100,00, vejamos a taxa cobrada:
image
Vamos utilizar uma regra de três simples direta para descobrir a taxa, mas antes calculamos o aumento que foi de R$ 100,00 – R$ 80,00 = R$ 20,00. Sendo i  a taxa procurada temos
R$           %
80           100
20             i
\frac{{80}}{{20}} = \frac{{100}}{i} \Leftrightarrow 80i = 2000 \Leftrightarrow i = \frac{{2000}}{{80}} = 25\% .
Questão 2
Temos neste problema um capital sendo investido em duas etapas. Vamos realizar os cálculos separadamente:

1º investimento
30% de R$ 80.000,00 = R$ 24.000,00 valor a ser investido a uma taxa i = 3% a.m., durante um período t = 2 meses. Lembrando que i = 3% = 0,03.
Cálculo dos juros J, onde J = C.i.t:
J = 24000.(0,03).2 = 1440.
Juros do 1º investimento = R$ 1440,00.
2º investimento
R$ 80.000,00 – R$ 24.000,00 = R$ 50.000,00 valor a ser investido a uma taxa i = 2% a.m., durante um período t = 2 meses.
J = 56000.(0,02).2 = 2240.
Juros do 2º investimento = R$ 2.240,00.
Portanto, o montante final será de
R$ 80.00,00 + R$ 1.440,00 + R$ 2.240,00 = R$ 83.680,00.
Questão 3
Do problema temos, capital C = 600, os juros J = 123,50, uma taxa i = 9,5%a.a. e o problema deseja saber o tempo t de aplicação. Repare antes nas alternativas que uma parte das respostas está em meses, então para “facilitar nos cálculos” vamos converter a taxa i para meses. Para determinarmos a taxa em meses, basta dividir por 12, sendo assim a taxa proporcional a 9,5% a.a. em meses é
\frac{{9,5\% }}{{12}}a.m.
i = \frac{{9,5\% }}{{12}} = \frac{{\frac{{9,5}}{{100}}}}{{12}} = \frac{{9,5}}{{1200}}
Vamos ao cálculo do tempo t, utilizando a fórmula J = C.i.t:
123,50 = 600 \cdot \frac{{9,5}}{{1200}} \cdot t \Leftrightarrow 123,50 = \frac{{9,5t}}{2} \Leftrightarrow 247 = 9,5t \Leftrightarrow t = 26meses.
Portanto, o tempo t = 26 meses = 2anos e 2 meses.
Questão 4
Seja C o valor procurado, i = 4%a.m = 0,04a.m. a taxa, M = 420 o valor pago pelo empréstimo (montante) e t = 5 meses o período considerado. Utilizando a relação
M = C.(1 + i.t), encontramos a resposta para o problema. Observe:
420 = C.(1 + 0,04.5) \Leftrightarrow 420 = C.(1,2) \Leftrightarrow C = \frac{{420}}{{1,2}} = 350.
Logo, a quantia que Marcelo emprestou a Augusto foi de R$ 350,00.
Questão 5
Segundo o problema, duas pessoas aplicam certa quantia cada, sendo que uma pessoa começa a aplicar após 2 meses que a outra iniciou sua aplicação. Sendo assim, o problema deseja saber qual é o valor do juros correspondente a aplicação da primera pessoa, quando os montantes são iguais.
Observe também que não temos nenhuma informação com relação ao tempo que o dinheiro ficou investido em ambos os casos. Sabemos somente que a segunda pessoa começou aplicar após 2 meses em relação a primeira pessoa.
Por isso, vamos supor que o capital da primeira pessoa ficou aplicado durante  t meses, então o da segunda pessoa ficou, (t – 2) meses, já que foi iniciada após 2 meses que a primeira pessoa começou a aplicar.
Podemos então retirar os dados do problema:
Primeira pessoa
C1 = 10.000 …….. tempo = t meses ……….i = 2% = 0,02a.m.
M1 = 10000.(1 + 0,02.t)
Segunda pessoa
C2 = 8.000 ……. tempo = (t – 2) meses …… i = 4% = 0,04a.m.
M1 = 8000.[1 + 0,04(t – 2)]
Como os montantes devem ser iguais:
M1 = M2
10000.(1 + 0,02t) = 8000.[1 + 0,04(t - 2)] \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow 10000 + 200t = 8000.[1 + 0,04t - 0,08] \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow 10000 + 200t = 8000.[0,92 + 0,04t] \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow 10000 + 200t = 7360 + 320t \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow 320t - 200t = 10000 - 7360 \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow 120t = 2640 \Leftrightarrow t = 22meses.
Perceba que não chegamos a resposta ainda, mas encontramos o tempo necessário para que os montantes sejam iguais, t = 22 meses. Portanto, ficou bem simples calcular os juros correspondentes a aplicação da primeira pessoa, veja:
J = C.i.t, onde t = 22, i = 0,02 e C = 10000.
J1 = 10000.(0,02).22 = 4400.
Logo, os juros são de R$ 4.400,00.








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