Geometria analítica

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Sistema cartesiano de coordenadas.

Na matemática clássica, a geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e de geometria cartesiana, é o estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise. Ela contrasta com a abordagem sintética da geometria euclidiana, em que certas noções geométricas são consideradas primitivas, e é utilizado o raciocínio dedutivo a partir de axiomas e teoremas para obter proposições verdadeiras. É um campo matemático no qual são utilizados métodos e símbolos algébricos para representar e resolver problemas geométricos. Sua importância está presente no fato de que estabelece uma correspondência entre equações algébricas e curvas geométricas. Tal correspondência torna possível a reavaliação de problemas na geometria como problemas equivalentes em álgebra, e vice-versa; os métodos de um âmbito podem ser utilizados para solucionar problemas no outro.

Representação do plano-xy com a inscrição dos vetores unitários i e j.

A geometria analítica é muito utilizada na física e na engenharia, e é o fundamento das áreas mais modernas da geometria, incluindo geometria algébrica, diferencial, discreta e computacional.
Em geral, o sistema de coordenadas cartesianas é usado para manipular equações em planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas, por vezes, também em três ou mais. A geometria analítica ensinada nos livros escolares pode ser explicada de uma forma mais simples: ela diz respeito à definição e representação de formas geométricas de modo numérico e à extração de informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vector ou uma forma. O fato de que a álgebra dos números reais pode ser empregada para produzir resultados sobre o contínuo linear da geometria baseia-se no axioma de Cantor-Dedekind.
Em matemática, a expressão geometria analítica possui dois significados distintos. O significado moderno e avançado se refere à geometria das variedades analíticas.

Índice

História

Grécia Antiga

O matemático grego Menecmo resolveu problemas e provou teoremas através de um método que se assemelhava fortemente com o uso de coordenadas; tanto que alguns estudiosos já chegaram a afirmar que a geometria analítica fora introduzida por este.
Apolônio de Perga, em De Sectione Determinata, lidava com os problemas de um modo que pode ser considerado como uma "geometria analítica unidimensional"; com a finalidade de descobrir a posição de pontos em uma reta por meio de dadas razões em relação aos outros pontos, pré-determinados pelo enunciado. Além disso, em Cônicas, Apolônio desenvolveu um método tão parecido com a geometria analítica que seu trabalho é, por vezes, considerado como a antecipação do trabalho de Descartes em cerca de 1800 anos. A utilização de linhas de referências, diâmetro e tangente é fundamentalmente análogo às utilizações modernas de um sistema de coordenadas, em que as distâncias medidas ao longo do diâmetro, a partir do ponto de tangência, são as abscissas e os segmentos paralelos à tangente e interceptados entre os eixos e a curva são as ordenadas. Mais tarde, ele desenvolveu relações entre as abscissas e as ordenadas correspondentes que são equivalentes à equações retóricas de curvas. Entretanto, apesar de Apolônio chegar perto de desenvolver a geometria analítica, ele não conseguiu o fazer por não considerar magnitudes negativas. Devido a esta configuração, equações eram determinadas por curvas, mas as curvas não eram estabelecidas por equações. Coordenadas, variáveis e equações eram noções auxiliares aplicadas a uma condição geométrico específico.

Pérsia

No século XI, o matemático persa Omar Khayyám observou uma forte relação entre álgebra e geometria, e estava caminhando na direção correta quando ajudou a preencher essa brecha existente entre álgebra numérica e geométrica com sua solução geral de equações cúbicas. Todavia, o passo decisivo veio mais tarde com Descartes.

Europa Ocidental

Folha de rosto da primeira edição do Discurso sobre o método, de René Descartes, em 1637.

No fim do século XVI, o matemático francês François Viète adotou a primeira notação algébrica sistemática, utilizando letras para representar quantidades numéricas conhecidas e desconhecidas, e desenvolveu eficientes métodos gerais para trabalhar com expressões algébricas e solucionar equações de mesma natureza. Com o poder da notação algébrica, os matemáticos não estavam mais completamente dependentes de figuras e intuições geométricas para a resolução de problemas. Os mais audaciosos começaram a deixar para trás o pensamento matemático padrão da época, no qual variáveis lineares (de primeira ordem) correspondiam a comprimentos, quadráticas (de segunda ordem) a áreas, cúbicas (terceira ordem) a volumes, e graus maiores careciam de interpretações "físicas". Dois franceses, o filósofo-matemático René Descartes e o matemático-advogado Pierre de Fermat, foram, dentre os primeiros, aqueles que deram esse corajoso passo.
Descartes e Fermat estabeleceram independentemente a geometria analítica na década de 1630, através da adaptação da álgebra de Viète no estudo do lugar geométrico. Entretanto, Descartes recebe, algumas vezes, o crédito exclusivo pelo desenvolvimento deste campo matemático. Os pensadores foram além das ideias de Viète quando passaram a usar letras para representar distâncias variáveis ao invés de valores fixos. Descartes manipulou equações para estudar curvas geometricamente definidas, e acentuou a necessidade de considerar curvas algébricas em geral — gráficos de equações polinomiais de todas as ordens. Ele demonstrou seu método em um problema clássico: encontrar todos os pontos P, de modo que, o produto das distâncias de P a certas linhas sejam iguais ao produto das distâncias em relação a outras linhas.
O progresso significante deste âmbito deu-se através de seus métodos em um ensaio intitulado La Geometrie, um dos três artigos publicados em 1637, anexados ao Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences. Este trabalho, produzido originalmente em francês, e seus princípios filosóficos, forneceram fundamentação para o desenvolvimento do cálculo infinitesimal na Europa. Inicialmente, a publicação não foi bem recebida pela comunidade científica, principalmente devido às falhas argumentativas e equações complicadas. Apenas depois de ter sido traduzida para o Latim, junto à adição de comentários por van Schooten em 1649, a obra-prima de Descartes obteve reconhecimento e admiração.
Fermat enfatizou que qualquer relação entre as coordenadas x e y determina uma curva. Utilizando tal ideia, ele revisou os argumentos de Apolônio em termos algébricos e recuperou trabalho perdido. Além disso, indicou que qualquer equação quadrática entre x e y pode ser representada na forma padrão de uma das seções cônicas.
Embora não tenha sido publicado durante seu tempo em vida, um impresso do manuscrito de Ad locos planos et solidos isagoge circulava em Paris em 1637, previamente à publicação do Discurso de Descartes. Escrito de forma clara e bem recebido, o documento também configurou a base da geometria analítica. A principal diferença entre as abordagens de ambos, quanto à este estudo, se encontra no ponto de vista: Fermat sempre iniciava com uma equação algébrica e então descrevia a curva geométrica que a satisfazia, enquanto Descartes partia das curvas geométricas e produzia suas respectivas equações; como sendo estas, uma de várias propriedades da curva. Como consequência deste tratamento, Descartes tinha de lidar com equações mais complicadas e, portanto, teve de criar métodos para trabalhar com equações polinomiais de ordens elevadas.

Coordenadas

Gráfico estrutural do sistema de coordenadas esféricas.

Na geometria analítica, ao plano é dado um sistema de coordenadas, no qual, cada ponto possui um par coordenadas reais. Semelhantemente, um espaço euclidiano acomoda sistemas onde cada ponto é definido por três coordenadas. Existe uma variedade de sistemas utilizados atualmente, porém os mais comuns são:

Coordenadas cartesianas

O sistema de coordenadas mais utilizado é o plano cartesiano, onde cada ponto recebe uma coordenada x, que representa a posição horizontal, e uma coordenada y, representando sua posição vertical. Estas são geralmente escritas em um par ordenado (x, y).
Este sistema também pode ser empregado em geometria tridimensional, no qual, cada ponto no espaço euclidiano é representado por um trio ordenado de coordenadas (x, y, z).

Fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano

Plano cartesiano

A distância entre dois pontos, A e B, quaisquer no plano, sendo A

\left (x_1 ,y_1 \right )

e B

\left (x_2 ,y_2\right )

, é dada por:^[1]

                         $d_{A,B}=$  $\sqrt[2]{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .

Coordenadas polares

No sistema de coordenadas polares, cada ponto no plano é representado pelo raio r, em relação à origem, e pelo ângulo θ, em relação à horizontal (grau zero).

Coordenadas cilíndricas

Nas coordenadas cilíndricas, cada ponto no espaço é definido por: uma altura z; por um raio r, em relação ao eixo-z; por ângulo θ, em relação à sua projeção no plano-xy.

Coordenadas esféricas

Em um sistema de coordenadas esféricas, o ponto é representado por uma distância ρ em relação à origem, um ângulo θ com respeito à projeção no plano-xy, e um ângulo φ, que esta distância determina em relação ao eixo-z. Na física, os nomes dos ângulos são geralmente invertidos.

Curvas e equações

Na geometria analítica, qualquer equação envolvendo coordenadas descreve um subconjunto do plano, isto é, o conjunto de soluções para a dada equação, ou o lugar geométrico (locus). Por exemplo, a equação y = x corresponde ao conjunto de todos os pontos no plano cuja coordenada-x é igual à coordenada-y. Estes pontos formam uma linha, portanto, dizemos que y = x representa a equação desta linha. No geral, equações lineares envolvendo x e y descrevem retas, equações quadráticas especificam seções cônicas, e equações mais complicadas resultam em figuras mais complexas.

Reprodução ideal de plotagem da generalizada equação linear reduzida com suas propriedades retratadas.

Normalmente, uma única equação corresponde à uma curva no plano. Este não é sempre o caso: a equação trivial x = x determina o plano inteiro, e a equação x² + y² = 0 determina apenas o ponto (0, 0). Em três dimensões, uma única equação gera, usualmente, uma superfície, e uma curva deve ser especificada como a intersecção entre duas superfícies, ou como um sistema de equações paramétricas.

Linhas e planos

Linhas no plano cartesiano podem ser descritas algebricamente através de equações lineares. Em duas dimensões, a equação para linhas não-verticais é, na maioria das vezes, dada na forma reduzida:

y = mx + n ,

onde:

m é o coeficiente angular da reta;
n é o ponto de intersecção da reta com o eixo-y;
x é a variável independente da função y = f(x).

Com respeito às equações que definem retas, estas também podem ser encontradas em outras configurações algébricas. Como, por exemplo:

Equação Geral

Toda reta pode ser apresentada com uma equação do tipo

Ax + By + C = 0 ,

com

A \neq 0

B \neq 0 .

Equação Paramétrica

Uma reta passando pelos pontos distintos

A=(x_1,y_1)

B=(x_2,y_2)

pode ser apresentada pelas equações paramétricas

\begin{cases} x=x_{ 1 }+mt \\ y=y_{ 1 }+nt \end{cases},

onde,

m = x_2 - x_1

n = y_2 - y_1 .

Equação Matricial

É possível fazer um paralelo básico, porém fundamental, entre geometria analítica e a álgebra linear através da transformação de suas equações lineares reduzidas e representá-las em matrizes. Dados dois pontos distintos

A=(x_1,y_1)

B=(x_2,y_2)

, uma equação da reta que passa por esses dois pontos é:

Representação de uma reta com pontos arbitrários para desenvolvimento das propriedades geométricas. No caso, serve como referência visual para as relações apresentadas ao lado.

y - y_1 = m(x-x_1) = \frac { \Delta y }{ \Delta x } (x-x_1) = \frac { (y_2-y_1) }{ (x_2-x_1) } (x-x_1) .

Exercendo um trabalho algébrico, obtemos:

(y-y_1)(x_2-x_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)

yx_2-yx_1-y_1x_2+y_1x_1 = y_2x-y_2x_1-y_1x+y_1x_1

(yx_2+y_1x+y_2x_1)-(yx_1+y_1x_2+y_2x)=0

Após alcançarmos tal relação de igualdade, podemos perceber uma forte semelhança com o algoritmo necessário para calcular o determinante de uma matriz. De modo a simplificar esta definição, a matriz

P

que caracteriza a equação da reta é:

P = \left| \begin{matrix} x & y & 1 \\ { x }_{ 1 } & { y }_{ 1 } & 1 \\ { x }_{ 2 } & { y }_{ 2 } & 1 \end{matrix} \right|

, se e somente se,

det(P)=0 .

Equação do plano

De forma análoga ao modo como as retas, em um espaço bidimensional, são descritas utilizando uma configuração ponto-ângulo para suas equações, planos situados em espaços tridimensionais possuem uma definição natural que utiliza um ponto no plano e um vetor ortogonal à este (o vetor normal) para indicar sua "inclinação".
Nomeadamente, seja

\mathbf{r}_0

o vetor posição de algum ponto

P_0 = (x_0,y_0,z_0)

, e seja

\mathbf{n} = (a,b,c)

um vetor não-nulo. O plano determinado pelo ponto e vetor consiste destes pontos

P

, com vetor posição

\mathbf{r}

, de modo que o vetor traçado de

P

P_0

seja perpendicular a

\mathbf{n}

. Dois vetores são perpendiculares se e somente se o produto escalar entre eles é zero. Logo, o plano desejado pode ser detalhado como o conjunto de todos os pontos

\mathbf{r}

, tais que

\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r_0}) = 0 .

(Vale atentar-se ao fato de que o ponto se refere ao produto escalar, e não à multiplicação escalar).
Expandindo o produto, a expressão se torna:

a (x-x_0)+ b(y-y_0)+ c(z-z_0)=0 ,

que é o perfil ponto-normal da equação de um plano.

Equação de reta no espaço tridimensional

Em três dimensões, retas não podem ser descritas por uma única equação linear, portanto, são frequentemente retratadas por equações paramétricas:

\begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases} ,

onde:

x, y e z são, todos, funções de uma variável independente t, que alterna através dos números reais;
(x₀, y₀, z₀) é um ponto qualquer na reta;
a, b e c estão relacionados ao coeficiente angular da reta, de modo que o vetor (a, b, c) seja paralelo à esta.

Temas

Os temas importantes de geometria analítica incluem:

Espaço vectorial
Definição do plano
Problemas de distância
O produto escalar para obter o ângulo entre dois vectores
O produto vectorial para obter um vector perpendicular a dois vectores conhecidos (e também o seu volume espacial)
Problemas de intersecção

Muitos destes problemas envolvem álgebra linear.