Selecionamos questões das principais bancas organizadoras de concursos e não só resolvemos, mas procuramos ser o mais didático possível para que você – que acompanha o Cálculo Básico – tenha condições de aprender de fato.
Caso tenha dúvidas sobre o conceito, operações e propriedades sobre porcentagem, aconselhamos ler o post Porcentagem: conceito, operações e propriedades, onde verificará que os problemas envolvendo porcentagem são resolvidos basicamente de três modos a saber: utilizando conhecimento sobre frações, razões e regra de três.
Veja abaixo os enunciados e logo em seguida as resoluções.
Juros Simples para concursos – toda a teoria
Enunciados das Questões
1. Um acordo entre o sindicato de determinada categoria e o sindicato patronal definiu que as porcentagens de reajuste salarial para o próximo biênio (2013-2014) serão definidas pela soma (IPCA do ano anterior + aumento real). A tabela a seguir mostra os percentuais de aumento real que foram acordados para cada ano, bem como as projeções para o IPCA.
SOLUÇÃO
Considerando os dados da tabela, o salário de 2014 de um trabalhador dessa categoria deverá ser x% maior do que o seu salário de 2012. O valor de x é
(A) 18,0
(B) 18,4
(C) 18,8
(D) 19,6
(E) 20,0
Questão 1
Em questões deste tipo, torna a resolução mais simples supor um determinado valor para o salário do trabalhador já que o aumento percentual independe do valor do salário, mas devemos supor um valor que torne fácil os cálculos envolvidos.
Vamos supor que o salário do trabalhador em 2012 era de R$ 1000,00.
A porcentagem de aumento para cada ano (do biênio) é dada como a soma de IPCA do ano anterior + aumento real. Então,
Em 2013 :
IPCA = 6,0% e aumento real = 2,0%, logo a porcentagem de aumento = 8,0%.
Salário em 2013 = 1000 + 8% de 1000 = 1000 + 80 = 1080 reais.
Em 2014:
IPCA = 7,5% e aumento real = 2,5%, logo a porcentagem de aumento = 10%.
Salário em 2014 = 1080 + 10% de 1080 = 1080 + 108 = 1188 reais.
Agora, vejamos que o salário do trabalhador foi de R$ 1000,00 a R$ 1188,00 um aumento de R$ 188,00 e por uma regra de três simples direta resolvemos o problema, sendo x o valor percentual procurado, temos:
R$ %
1000 100
188 x
2. Fábio contratou um empréstimo bancário que deveria ser quitado em 30 de março de 2012. Como conseguiu o dinheiro necessário 30 dias antes dessa data, Fábio negociou com o gerente e conseguiu 5% de desconto. Assim, quitou o empréstimo antecipadamente, pagando R$ 4.940,00. Qual era, em reais, o valor a ser pago por Fábio em 30 de março de 2012?
(A) 5.187,00
(B) 5.200,00
(C) 5.871,00
(D) 6.300,00
(E) 7.410,00
SOLUÇÃO
Questão 2
Vamos resolver este problema de dois modos:
1º Modo:
Seja p o valor a ser pago no dia 30 de março de 2012. Como Fábio conseguiu um desconto de 5% e pagou R$ 4940,00, vamos montar a equação Matemática para esta situação:
P – 5% de P = 4940 (isto é, o preço p menos os 5%de p deve ser igual a R$ 4940,00) resolvendo,
Portanto, o valor pago em 30 de março de 2012 será de R$ 5200,00.
2º Modo:
Neste segundo modo, vamos resolver pela regra de três simples direta.
Observe que o valor p em 30 de março de 2012 é o valor de referência, então este é equivalente a 100%. Já o valor de R$ 49400,00 é equivalente a 95%, pois 100% – 5% = 95% (5% de desconto).
R$ %
p 100
4940 95
Novamente, temos o mesmo valor para p, R$ 5200,00 em 30 de março de 2012.
3. Uma creperia vende, em média, 500 crepes por semana, a R$ 20,00 a unidade. O proprietário estima que, para cada real de aumento no preço unitário de venda dos crepes, haverá redução de dez unidades na média semanal de vendas. Com base nessas informações, julgue a afirmação abaixo em certa ou errada.
“Caso o proprietário da creperia aumente em 50% o preço de cada crepe, a média semanal de vendas diminuirá em 50%.”
SOLUÇÃO
Questão 3
Como o preço de um crepe é R$ 20,00, com um aumento de 50%, temos:
20 + 50% de 20 = 20 + 10 = 30, isto é, o preço do crepe passará a ser de R$ 30,00.
Então, aumento 30 – 20 = 10 reais.
Agora, como o aumento de R$ 1,00 no preço do crepe equivale a uma redução de 10 unidades na venda (-10), logo para um aumento de R$ 10,00, teremos uma redução de 100 unidades (10.10 = 100).
Vejamos:
A venda inicial era de 500 crepes por semana. Com o aumento de 50% no preço, passou a ser 400 crepes por semana (500 – 100 = 400).
Veja que a venda semanal diminuiu para 400 crepes e é fácil verificar que 400 não representa 50% de 500, logo a afirmação está errada.
4. Uma loja de roupas recebeu uma remessa com 350 camisas e 150 calças. Das peças recebidas, 8% das camisas estavam sem um dos botões e 6% das calças tinham problemas com o zíper. O total das peças com defeitos representa, em relação ao total de peças recebidas, uma porcentagem de
(A) 10,6%
(B) 9,3%
(C) 8,2%
(D) 7,4%
(E) 6,5%
SLUÇÃO
Questão 4
Precisamos antes, encontrar o total de roupas com defeito, isto é, o número de camisas defeituosas mais o número de calças defeituosas. Vejamos,
8% de 350 = 0,08.350 = 28
6% de 150 = 0,06.150 = 9
28 + 9 = 37 peças de roupa com defeito.
A razão acima representa a porcentagem pedida no problema, isto é, o total de roupas defeituosas está para o total de roupas adquiridas. Veja mais em
Porcentagem: conceito, operações e problemas
Observação: você pode encontrar a mesma resposta utilizando a forma de regra de três simples direta, como em algumas questões anteriores. Optamos por resolver deste modo somente para mostrar uma outra forma de se encontrar a porcentagem.
5. Em uma pequena cidade, 18% das pessoas são louras. Sabe-se que 30% do homens são louros e 10% das mulheres são louras. Entre as pessoas dessa cidade, a porcentagem de homens é de
(A) 40%
(B) 20%
(C) 30%
(D) 50%
(E) 60%
SOLUÇÃO
Questão 5
Vamos chamar de h o número de homens, m o número de mulheres e p a população total, isto é, p = h + m.
Como 30% dos homens são louros, podemos escrever: 30%.h = 0,3h.
Como 10% das mulheres são louras, podemos escrever: 10%.m = 0,1m.
Como 18% da população é loura e está população (loura) é formada por 30% dos homens mais 10% das mulheres, podemos escrever a seguinte equação:
30%h + 10%m = 18%p
0,3h + 0,1m = 0,18p ( I )
h + m = p ( II )
Como desejamos saber a porcentagem de homens, da relação ( II ), temos:
m = p – h, substituindo em ( I ) vem:
h = 0,4p
Ora, 0,4 = 40/100 = 40%.
h = 40%p, isto é a população h de homens é 40% da população total p da cidade.
Como é de costume aqui no blog, vamos abordar o assunto de forma direta (sem demonstrações) dando embasamento para as provas de concursos, isto é, somente aquilo que você precisa saber para resolver questões de concursos.
Antes de Começar …
Estudar Matemática não é como assistir novela, seja proativo!Tenha em mãos papel e lápis, sente-se de maneira confortável.
Faça anotações, rabisque, etc.
Procure você mesmo descobrir como se chegou a certo resultado ou valor, antes de perguntar.
Mesmo assim não conseguindo, fique a vontade para nos perguntar.
Bom estudo!
Caso tenha alguma dificuldade sobre porcentagem, veja as aulas:
Porcentagem: teoria e exercícios
Porcentagem: questões de concursos resolvidas
Capital e Juros
Capital é uma riqueza capaz de produzir renda sem a intervenção do trabalho.Juros é a remuneração recebida pela aplicação de um capital, durante determinado período, a certa taxa. Os juros é o custo do crédito obtido. Pode ser visto também como sendo o valor do aluguel pelo uso do capital.
Exemplos de situações:
a) Depositar dinheiro na poupança, pois renderá juros;
b) comprando algum objeto a prazo terá que pagar juros ou fazer um empréstimo a longo prazo.
Taxa de Juros
Taxa de juros é o uma porcentagem sobre o capital que foi, por exemplo, emprestado durante certo período, apresenta-se na forma porcentual (ex.: 15%) ou unitária (ex.: 0,15).Aqui chamamos a atenção para o seguinte:
Para a aplicação de fórmulas, a seguir, a taxa e o tempo (período) devem estar na mesma unidade, ou seja, se a taxa for anual, o tempo deve ser dado em anos, se a taxa for mensal, o tempo deve estar em meses, no caso de uma taxa diária o tempo deve ser expresso em dias.
Montante (Valor Capitalizado ou Acumulado)
O montante ou valor capitalizado é a soma do valor do capital inicial com o valor do juro do capital obtido no período de tempo considerado.Juros Simples (ou Regime de Capitalização Simples)
No sistema de juros simples, a taxa sempre incidirá sobre o valor do capital inicial, isto é, o juro é sempre determinado sobre o capital inicial.
Ou
os juros correspondentes a cada um dos períodos serão sempre calculados sobre a quantia inicial.
Exemplo: Joaquim emprestou R$ 100,00 a Manoel que, de acordo com o combinado vai pagar ao final de três meses completos, sob uma taxa de juros simples a 10% a.m. (ao mês). Então, Manoel pagará…
Ao final do 1º mês Manoel pagará de juros:
10% de R$ 100,00 = R$ 10,00.
Ao final do 2º mês Manoel pagará de juros:
10% de R$ 100,00 = R$ 10,00.
Ao final do 3º mês Manoel pagará de juros:
10% de R$ 100,00 = R$ 10,00.
Logo o total de juros é de: R$ 30,00 e Manoel pagará R$ 130,00.
Veja que a taxa de 10% em todo período (mês) incidiu sobre o capital inicial (valor emprestado). Essa é a diferença para o sistema de juros compostos, já que neste caso a taxa incide sobre o capital acumulado.
Fórmulas para Cálculo do Juros Simples e Montante
J – juros / C – capital / i – taxa (em valor unitário) / t – tempo / M – montante
Fórmula para o cálculo dos juros simples
J = C.i.t
Fórmula para o cálculo do montante
M = C + J ou M = C.( 1 + i.t )
Exemplos de Aplicação em Questões de Concursos
Exemplo 1: Um capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 60% ao ano durante 7 meses. Qual o montante dessa aplicação?Solução:
1º Modo
Do problema temos
C = 20.000 i = 60% a.a. t = 7 meses M = ?
Devemos observar que a taxa e o tempo estão em unidades diferentes logo, vamos transformar a taxa para ser aplicada ao mês, basta dividirmos por 12 (1 ano = 12 meses).
60%a.a. e 5%a.m. são taxas equivalentes a juros simples.
Juro obtido:
J = 20000.0,05.7 = 7000
Montante:
M = 20000 + 7000 = R$ 27000,00.
2º Modo
Aplicando direto na fórmula M = C.( 1 + i.t):
A parte (1 + i.t) da fórmula acima é conhecida como fator de correção.
( 1 + i.t ) = 1 + 0,05.7 = 1,35 é o fator de correção.
M = 20000.1,35 = R$ 27000,00.
Exemplo 2: (TCE-PI) Durante o mês de abril, um capital de R$ 20.000,00 foi colocado no open market (sistema de juros simples) pelo prazo de 24 dias, tendo produzido um montante de R$ 24.800,00. A taxa anual de juros simples a que esse capital esteve aplicado foi de:
a) 30% b) 80% c) 120% d) 360% e) 720%
Solução:
C = 20.000 M = 24800 t = 24 dias i = ?
Devemos observar que a taxa é anual e o prazo (tempo) está em dias, vamos fazer a equivalência do prazo para anos.
Outro fato a observar neste problema é de se considerar para o período de 1 ano, 360 dias, conhecido como ano comercial (adotado em juros comerciais). Para o ano civil, 365 dias ou 366 dias (adotado em juros exatos). Considere ano comercial, pois não houve menção de ano civil ou juros exatos.
1º Modo
Juros do período = 24800 – 20000 = R$ 4.800,00.
Trabalhando na fórmula J = C.i.t, mas antes vamos simplificar
2º Modo
Utilizando a fórmula M = C.( 1 + i.t ).
Isolando o fator (1 + i.t) no 1º da equação:
Multiplicando por 100 para converter em porcentagem, temos
i = 3,6 x 100 = 360%.
Exemplo 3: (CEF) Um certo capital aplicado a juros simples durante 15 meses rendeu um determinado juro. Se aplicarmos o triplo desse capital à mesma taxa, em prazo o juro obtido será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação?
A) 5 meses
B) 7 meses e meio
C) 10 meses
D) 12 meses
E) 18 meses
Solução:
Observe que nesta questão não aparecem muitos números, mas fique tranquilo que vamos resolver isso! Como? Vamos nomear algumas incógnitas para representar os dados do problema matematicamente. Vejamos:
“Um certo capital aplicado a juros simples durante 15 meses rendeu um determinado juro.” (1ª aplicação)
Vamos “chamar” esse “certo capital” de C.
Como foi “aplicado a juros simples” ao mês, a taxa vamos “chamar” de i, ou seja, i a.m..
Tempo t = 15 meses.
O “juro” rendido vamos “chamar” de J1.
Utilizando a fórmula J = C.i.n, podemos escrever:
J1 = C.i.15
“Se aplicarmos o triplo desse capital à mesma taxa, em que prazo o juro obtido será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação?” (2º aplicação)
“triplo do capital” será 3.C.
“à mesma taxa” i a.m.
“em que prazo”, vamos chamar de t = ?
O novo juro obtido, vamos “chamar” de J2.
Podemos escrever:
J2 = 3C.i.t
“o juro obtido (J2) será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação (J1)”
Então, temos que:
J2 = 2.J1
Substituindo os valores de J1 e J2.
Conclusão
- No sistema de juros simples, a taxa dever ser aplicado sobre o capital inicial;- Tempo de aplicação e a taxa, devem estar na mesma unidade;
- Fórmulas ajudam, mas observe que no sistema de juros simples não é necessário se preocupar tanto em decorar, entendendo os conceitos, fica fácil lembrar-se das fórmulas.
- Observe que na resolução dos dois primeiros exemplos, dois caminhos foram usados para obter as respostas. Sabemos que em concursos o fator tempo de prova é de suma importância, portanto, evite seguir pelo caminho mais rápido na resolução de uma questão caso você se sinta inseguro, às vezes é melhor demorar um pouco mais em uma questão e ter certeza do que está fazendo do que o contrário.
Exercícios para concursos sobre juros simples
Como diz o ditado – “O que for fazer, faça bem feito.”
E você, ficou com alguma dúvida? Comente!
Curso de Raciocínio Lógico para Concursos
Escrita Eficiente: Redação para Concursos e Artigos.
Sugerimos que caso não saiba a parte teórica (definições, fórmulas) acesse nossa aula sobre juros simples que aborda o necessário para concursos no link abaixo.
Teoria – juros simples
Teoria – porcentagem
Porcentagem – questões de concursos resolvidas
Enunciados das Questões
1. Uma loja vende um artigo e oferece duas opções de pagamento: à vista, por R$ 180,00, ou em dois pagamentos iguais de R$ 100,00 cada, sendo o primeiro no ato da compra e o segundo, um mês depois da compra. Qual é a taxa mensal dos juros cobrados de quem compra a prazo?A) 25%
B) 20%
C) 12,5%
D) 11,1%
E) 10%
2. Um investidor possui R$ 80.000,00. Ele aplica 30% desse dinheiro em um investimento que rende juros simples a uma taxa de 3% a.m., durante 2 meses, e aplica o restante em investimento que rende 2% a.m., durante 2 meses também. Ao fim desse período, esse investidor possui:
A) R$ 83.680,00
B) R$ 84.000,00
C) R$ 84.320,00
D) R$ 84.400,00
E) R$ 88.000,00
3. O capital de R$ 600,00, aplicado a juros simples de 9,5% ao ano, produziu R$ 123,50 de juros. O tempo correspondente à aplicação foi de:
A) 2 anos e 1 mês
B) 2 anos e 3 meses
C) 2 anos e 2 meses
D) 1 ano e 11 meses
4. Marcelo emprestou certa quantia a Augusto, cobrando juros simples de 4% ao mês. Cinco meses mais tarde, Augusto pagou o empréstimo, e Marcelo recebeu R$ 420,00. Qual foi, em reais, a quantia que Marcelo emprestou a Augusto?
A) 320,00
B) 336,00
C) 350,00
D) 382,00
E) 400,00
5. Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de:
A) R$ 4.400,00
B) R$ 4.000,00
C) R$ 3.600,00
D) R$ 3.200,00
E) R$ 2.800,00
Soluções das Questões
Questão 1Para a resolução deste problema, devemos atentar para o fato de que a taxa de juros cobrada incide sobre o valor que ainda falta a pagar. Veja:
Preço à vista = R$ 180,00.
Preço à prazo = 2 x R$ 100,00 (duas parcelas de R$ 100,00 cada)
Sendo que a primeira parcela deve ser dada no ato da compra.
Comprando a prazo, a pessoa pagará R$ 100,00 e ficará devendo R$ 80,00 em relação ao preço de à vista pagando somente após 30 dias, logo o dinheiro deve ser corrigido no tempo, daí a taxa de juros que incidirá sobre os R$ 80,00 restantes. De R$ 80,00 a pessoa pagará R$ 100,00, vejamos a taxa cobrada:
Vamos utilizar uma regra de três simples direta para descobrir a taxa, mas antes calculamos o aumento que foi de R$ 100,00 – R$ 80,00 = R$ 20,00. Sendo i a taxa procurada temos
R$ %
80 100
20 i
Questão 2
Temos neste problema um capital sendo investido em duas etapas. Vamos realizar os cálculos separadamente:
1º investimento
30% de R$ 80.000,00 = R$ 24.000,00 valor a ser investido a uma taxa i = 3% a.m., durante um período t = 2 meses. Lembrando que i = 3% = 0,03.
Cálculo dos juros J, onde J = C.i.t:
J = 24000.(0,03).2 = 1440.
Juros do 1º investimento = R$ 1440,00.
2º investimento
R$ 80.000,00 – R$ 24.000,00 = R$ 50.000,00 valor a ser investido a uma taxa i = 2% a.m., durante um período t = 2 meses.
J = 56000.(0,02).2 = 2240.
Juros do 2º investimento = R$ 2.240,00.
Portanto, o montante final será de
R$ 80.00,00 + R$ 1.440,00 + R$ 2.240,00 = R$ 83.680,00.
Questão 3
Do problema temos, capital C = 600, os juros J = 123,50, uma taxa i = 9,5%a.a. e o problema deseja saber o tempo t de aplicação. Repare antes nas alternativas que uma parte das respostas está em meses, então para “facilitar nos cálculos” vamos converter a taxa i para meses. Para determinarmos a taxa em meses, basta dividir por 12, sendo assim a taxa proporcional a 9,5% a.a. em meses é
Vamos ao cálculo do tempo t, utilizando a fórmula J = C.i.t:
Portanto, o tempo t = 26 meses = 2anos e 2 meses.
Questão 4
Seja C o valor procurado, i = 4%a.m = 0,04a.m. a taxa, M = 420 o valor pago pelo empréstimo (montante) e t = 5 meses o período considerado. Utilizando a relação
M = C.(1 + i.t), encontramos a resposta para o problema. Observe:
Logo, a quantia que Marcelo emprestou a Augusto foi de R$ 350,00.
Questão 5
Segundo o problema, duas pessoas aplicam certa quantia cada, sendo que uma pessoa começa a aplicar após 2 meses que a outra iniciou sua aplicação. Sendo assim, o problema deseja saber qual é o valor do juros correspondente a aplicação da primera pessoa, quando os montantes são iguais.
Observe também que não temos nenhuma informação com relação ao tempo que o dinheiro ficou investido em ambos os casos. Sabemos somente que a segunda pessoa começou aplicar após 2 meses em relação a primeira pessoa.
Por isso, vamos supor que o capital da primeira pessoa ficou aplicado durante t meses, então o da segunda pessoa ficou, (t – 2) meses, já que foi iniciada após 2 meses que a primeira pessoa começou a aplicar.
Podemos então retirar os dados do problema:
Primeira pessoa
C1 = 10.000 …….. tempo = t meses ……….i = 2% = 0,02a.m.
M1 = 10000.(1 + 0,02.t)
Segunda pessoa
C2 = 8.000 ……. tempo = (t – 2) meses …… i = 4% = 0,04a.m.
M1 = 8000.[1 + 0,04(t – 2)]
Como os montantes devem ser iguais:
M1 = M2
![10000.(1 + 0,02t) = 8000.[1 + 0,04(t - 2)] \Leftrightarrow](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u6UG7fze6hs4VyRZuVDrX-dMCwX--djYx2KspEarYffcE7LeWd3_E54hbeLssv6l4j3y9D41bwsOOxhmfUCwVTXkhpenEolyeX94obY4HC5n7dPzFTW72ZIQ6HgvMBpEp4Z7gjFL9ZnhklB0Suiw4SG8kzx7KxBgf46ebMp2dtpMltjxs8MrNbA2EO6UaDwfd5o-xfSrgBUj2xixYCa0jkEl4qtwhbvfBR1YxkbpLmu6iZnt-g52BlfQ3x2qFH1g=s0-d)
![\Leftrightarrow 10000 + 200t = 8000.[1 + 0,04t - 0,08] \Leftrightarrow](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v1f2SVZoUnQe-5iVPfMwNLdBZ5e5d9FDRfJoldie80000SUCcGo24ObjOGijg0eixYw-qwDf9PnWxF6FiYltPuH9kQXJOFET9Dt4QoyEqoSLCSZNCbS7P-edJ7WIW4wm8WJouNVfc7zvWlBk5rrSDSip6YNGWCHSqVTrZ5tjD8P40D_4Qfm9oLfafwYTVxCe4LR5V5q4KSXXwMoETQZvYsLDg7F5Y3Q8lW7OY2SsuHvf44p3VIpVFjO6ooW3xPeYxgRpPssQetmECPIHRm=s0-d)
![\Leftrightarrow 10000 + 200t = 8000.[0,92 + 0,04t] \Leftrightarrow](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tY7afaa8zoSgSFL2JrTUmD5tHZnCS_f9RHrysjYO1C3W4z1fCU_YuqbsAUyDdnsEyRPZxEwFRWfE8nyG6qaiLEInpa5fdXOrv_2__zEWHYiqZQ2HNYAAoiztIb6yaQ4egthIBts1Kvi3KDAHi3481hf3Z_z2EN6-eqfUN2RCZ7_9atl46zUdru_r4PSTyG0VesHpjjN7ijEjcCOXuZk0zPxBPibtmZfGYUwhHADHvbhl5e-SNmvUNyVFyKaDnpfNrUgxYyringFo16=s0-d)
Perceba que não chegamos a resposta ainda, mas encontramos o tempo necessário para que os montantes sejam iguais, t = 22 meses. Portanto, ficou bem simples calcular os juros correspondentes a aplicação da primeira pessoa, veja:
J = C.i.t, onde t = 22, i = 0,02 e C = 10000.
J1 = 10000.(0,02).22 = 4400.
Logo, os juros são de R$ 4.400,00.
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