Geometria analítica
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Sistema cartesiano de coordenadas.
Na
matemática clássica, a
geometria analítica, também chamada
geometria de coordenadas e de
geometria cartesiana, é o estudo da
geometria por meio de um
sistema de coordenadas e dos princípios da
álgebra e da
análise. Ela contrasta com a abordagem
sintética da
geometria euclidiana, em que certas noções geométricas são consideradas
primitivas, e é utilizado o
raciocínio dedutivo a partir de
axiomas e
teoremas
para obter proposições verdadeiras. É um campo matemático no qual são
utilizados métodos e símbolos algébricos para representar e resolver
problemas geométricos. Sua importância está presente no fato de que
estabelece uma correspondência entre equações algébricas e curvas
geométricas. Tal correspondência torna possível a reavaliação de
problemas na geometria como problemas equivalentes em álgebra, e
vice-versa; os métodos de um âmbito podem ser utilizados para solucionar
problemas no outro.
Representação do plano-xy com a inscrição dos vetores unitários i e j.
A geometria analítica é muito utilizada na
física e na
engenharia, e é o fundamento das áreas mais modernas da geometria, incluindo
geometria algébrica,
diferencial,
discreta e
computacional.
Em geral, o
sistema de coordenadas cartesianas é usado para manipular
equações em
planos,
retas,
curvas e
círculos,
geralmente em duas dimensões, mas, por vezes, também em três ou mais. A
geometria analítica ensinada nos livros escolares pode ser explicada de
uma forma mais simples: ela diz respeito à definição e representação de
formas geométricas de modo numérico e à extração de informação numérica
dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser
um
vector ou uma
forma. O fato de que a álgebra dos
números reais pode ser empregada para produzir resultados sobre o contínuo linear da geometria baseia-se no
axioma de Cantor-Dedekind.
Em
matemática, a expressão
geometria analítica possui dois significados distintos. O significado moderno e avançado se refere à geometria das
variedades analíticas.
História
Grécia Antiga
O matemático
grego Menecmo
resolveu problemas e provou teoremas através de um método que se
assemelhava fortemente com o uso de coordenadas; tanto que alguns
estudiosos já chegaram a afirmar que a geometria analítica fora
introduzida por este.
Apolônio de Perga, em
De Sectione Determinata, lidava com os problemas de um modo que pode ser considerado como uma
"geometria analítica unidimensional";
com a finalidade de descobrir a posição de pontos em uma reta por meio
de dadas razões em relação aos outros pontos, pré-determinados pelo
enunciado. Além disso, em
Cônicas, Apolônio desenvolveu um método
tão parecido com a geometria analítica que seu trabalho é, por vezes,
considerado como a antecipação do trabalho de
Descartes em cerca de 1800 anos. A utilização de linhas de referências, diâmetro e
tangente
é fundamentalmente análogo às utilizações modernas de um sistema de
coordenadas, em que as distâncias medidas ao longo do diâmetro, a partir
do ponto de tangência, são as
abscissas e os segmentos paralelos à tangente e interceptados entre os eixos e a curva são as
ordenadas.
Mais tarde, ele desenvolveu relações entre as abscissas e as ordenadas
correspondentes que são equivalentes à equações retóricas de curvas.
Entretanto, apesar de Apolônio chegar perto de desenvolver a geometria
analítica, ele não conseguiu o fazer por não considerar magnitudes
negativas. Devido a esta configuração, equações eram determinadas por
curvas, mas as curvas não eram estabelecidas por equações. Coordenadas,
variáveis e equações eram noções auxiliares aplicadas a uma condição
geométrico específico.
Pérsia
No
século XI, o matemático persa
Omar Khayyám
observou uma forte relação entre álgebra e geometria, e estava
caminhando na direção correta quando ajudou a preencher essa brecha
existente entre álgebra numérica e geométrica com sua solução geral de
equações cúbicas. Todavia, o passo decisivo veio mais tarde com
Descartes.
Europa Ocidental
No fim do
século XVI, o matemático
francês François Viète adotou a primeira
notação
algébrica sistemática, utilizando letras para representar quantidades
numéricas conhecidas e desconhecidas, e desenvolveu eficientes métodos
gerais para trabalhar com expressões algébricas e solucionar equações de
mesma natureza. Com o poder da notação algébrica, os matemáticos não
estavam mais completamente dependentes de figuras e
intuições
geométricas para a resolução de problemas. Os mais audaciosos começaram
a deixar para trás o pensamento matemático padrão da época, no qual
variáveis lineares (de primeira ordem) correspondiam a comprimentos,
quadráticas (de segunda ordem) a áreas, cúbicas (terceira ordem) a
volumes, e graus maiores careciam de interpretações "físicas". Dois
franceses, o
filósofo-matemático
René Descartes e o matemático-
advogado Pierre de Fermat, foram, dentre os primeiros, aqueles que deram esse corajoso passo.
Descartes e Fermat estabeleceram independentemente a geometria analítica na década de
1630, através da adaptação da álgebra de Viète no estudo do
lugar geométrico.
Entretanto, Descartes recebe, algumas vezes, o crédito exclusivo pelo
desenvolvimento deste campo matemático. Os pensadores foram além das
ideias de Viète quando passaram a usar letras para representar
distâncias variáveis ao invés de valores fixos. Descartes manipulou
equações para estudar curvas geometricamente definidas, e acentuou a
necessidade de considerar curvas algébricas em geral —
gráficos de equações
polinomiais de todas as ordens. Ele demonstrou seu método em um problema clássico: encontrar todos os pontos
P, de modo que, o produto das distâncias de
P a certas linhas sejam iguais ao produto das distâncias em relação a outras linhas.
O progresso significante deste âmbito deu-se através de seus métodos em um ensaio intitulado
La Geometrie, um dos três artigos publicados em
1637, anexados ao
Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences.
Este trabalho, produzido originalmente em francês, e seus princípios
filosóficos, forneceram fundamentação para o desenvolvimento do
cálculo infinitesimal na
Europa.
Inicialmente, a publicação não foi bem recebida pela comunidade
científica, principalmente devido às falhas argumentativas e equações
complicadas. Apenas depois de ter sido traduzida para o
Latim, junto à adição de comentários por
van Schooten em
1649, a obra-prima de Descartes obteve reconhecimento e admiração.
Fermat enfatizou que qualquer relação entre as coordenadas
x e
y
determina uma curva. Utilizando tal ideia, ele revisou os argumentos de
Apolônio em termos algébricos e recuperou trabalho perdido. Além disso,
indicou que qualquer equação quadrática entre
x e
y pode ser representada na forma padrão de uma das seções
cônicas.
Embora não tenha sido publicado durante seu tempo em vida, um impresso do manuscrito de
Ad locos planos et solidos isagoge circulava em
Paris em 1637, previamente à publicação do
Discurso
de Descartes. Escrito de forma clara e bem recebido, o documento também
configurou a base da geometria analítica. A principal diferença entre
as abordagens de ambos, quanto à este estudo, se encontra no ponto de
vista: Fermat sempre iniciava com uma equação algébrica e então
descrevia a curva geométrica que a satisfazia, enquanto Descartes partia
das curvas geométricas e produzia suas respectivas equações; como sendo
estas, uma de várias propriedades da curva. Como consequência deste
tratamento, Descartes tinha de lidar com equações mais complicadas e,
portanto, teve de criar métodos para trabalhar com equações polinomiais
de ordens elevadas.
Coordenadas
Gráfico estrutural do sistema de coordenadas esféricas.
Na geometria analítica, ao
plano é dado um
sistema de coordenadas, no qual, cada
ponto possui um par coordenadas
reais. Semelhantemente, um
espaço euclidiano
acomoda sistemas onde cada ponto é definido por três coordenadas.
Existe uma variedade de sistemas utilizados atualmente, porém os mais
comuns são:
Coordenadas cartesianas
O sistema de coordenadas mais utilizado é o
plano cartesiano, onde cada ponto recebe uma coordenada
x, que representa a posição
horizontal, e uma coordenada
y, representando sua posição
vertical. Estas são geralmente escritas em um
par ordenado (
x, y).
Este sistema também pode ser empregado em
geometria tridimensional, no qual, cada ponto no espaço euclidiano é representado por um trio ordenado de coordenadas (
x, y, z).
Fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano
A distância entre dois pontos, A e B, quaisquer no plano, sendo
A 
e
B 
, é dada por:
[1]
![\sqrt[2]{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}](https://upload.wikimedia.org/math/6/f/d/6fd61a1a98406d742f50383c4523c642.png)
.
Coordenadas polares
No sistema de
coordenadas polares, cada ponto no plano é representado pelo
raio r, em relação à
origem, e pelo
ângulo θ, em relação à horizontal (grau zero).
Coordenadas cilíndricas
Nas
coordenadas cilíndricas, cada ponto no espaço é definido por: uma
altura z; por um raio
r, em relação ao eixo-
z; por ângulo
θ, em relação à sua
projeção no plano-
xy.
Coordenadas esféricas
Em um sistema de
coordenadas esféricas, o ponto é representado por uma distância
ρ em relação à origem, um ângulo
θ com respeito à projeção no plano-
xy, e um ângulo
φ, que esta distância determina em relação ao eixo-
z. Na
física, os nomes dos ângulos são geralmente invertidos.
Curvas e equações
Na geometria analítica, qualquer
equação envolvendo coordenadas descreve um
subconjunto do plano, isto é, o conjunto de soluções para a dada equação, ou o
lugar geométrico (locus). Por exemplo, a equação
y = x corresponde ao
conjunto de todos os pontos no plano cuja coordenada-
x é igual à coordenada-
y. Estes pontos formam uma
linha, portanto, dizemos que
y = x representa a equação desta linha. No geral,
equações lineares envolvendo x e y descrevem retas,
equações quadráticas especificam
seções cônicas, e equações mais complicadas resultam em figuras mais complexas.
Reprodução ideal de plotagem da generalizada equação linear reduzida com suas propriedades retratadas.
Normalmente, uma única equação corresponde à uma
curva no plano. Este não é sempre o caso: a equação trivial
x = x determina o plano inteiro, e a equação
x² + y² = 0 determina apenas o ponto (0, 0). Em três dimensões, uma única equação gera, usualmente, uma
superfície, e uma curva deve ser especificada como a
intersecção entre duas superfícies, ou como um sistema de
equações paramétricas.
Linhas e planos
Linhas no plano cartesiano podem ser descritas algebricamente através de
equações lineares. Em duas dimensões, a equação para linhas não-verticais é, na maioria das vezes, dada na
forma reduzida:
onde:
Com respeito às equações que definem retas, estas também podem ser encontradas em outras configurações algébricas. Como, por exemplo:
Equação Geral
Toda reta pode ser apresentada com uma equação do tipo
com
ou
Equação Paramétrica
Uma reta passando pelos pontos distintos
e
pode ser apresentada pelas equações paramétricas
onde,
e
Equação Matricial
É possível fazer um paralelo básico, porém fundamental, entre geometria analítica e a
álgebra linear através da transformação de suas equações lineares reduzidas e representá-las em
matrizes. Dados dois pontos distintos
e
, uma equação da reta que passa por esses dois pontos é:
Representação de uma reta com pontos arbitrários para desenvolvimento das propriedades geométricas. No caso, serve como referência visual para as relações apresentadas ao lado.
Exercendo um trabalho algébrico, obtemos:
Após alcançarmos tal relação de igualdade, podemos perceber uma forte semelhança com o
algoritmo necessário para calcular o
determinante de uma matriz. De modo a simplificar esta definição, a matriz
que caracteriza a equação da reta é:
, se e somente se,
Equação do plano
De forma análoga ao modo como as retas, em um espaço bidimensional, são descritas utilizando uma configuração ponto-ângulo para suas equações, planos situados em espaços tridimensionais possuem uma definição natural que utiliza um ponto no plano e um
vetor ortogonal à este (o
vetor normal) para indicar sua "inclinação".
Nomeadamente, seja
o vetor posição de algum ponto
, e seja
um vetor não-nulo. O plano determinado pelo ponto e vetor consiste destes pontos
, com vetor posição
, de modo que o vetor traçado de
a
seja
perpendicular a
. Dois vetores são perpendiculares se e somente se o
produto escalar entre eles é zero. Logo, o plano desejado pode ser detalhado como o conjunto de todos os pontos
, tais que
(Vale atentar-se ao fato de que o ponto se refere ao produto escalar, e não à multiplicação escalar).
Expandindo o produto, a expressão se torna:
que é o perfil
ponto-normal da equação de um plano.
Equação de reta no espaço tridimensional
Em três dimensões, retas não podem ser descritas por uma única equação linear, portanto, são frequentemente retratadas por equações paramétricas:
onde:
- x, y e z são, todos, funções de uma variável independente t, que alterna através dos números reais;
- (x0, y0, z0) é um ponto qualquer na reta;
- a, b e c estão relacionados ao coeficiente angular da reta, de modo que o vetor (a, b, c) seja paralelo à esta.
Temas
Os temas importantes de geometria analítica incluem:
Muitos destes problemas envolvem
álgebra linear.
Geometria analítica moderna
A geometria analítica, no contexto da
geometria algébrica, é também o nome da teoria das
variedades complexas e dos espaços analíticos mais gerais. Está ligada à geometria algébrica, especialmente pelo trabalho de
Jean-Pierre Serre.
Referências
Bibliografia
- Boulos, Paulo; Camargo, Ivan de (2005). Geometria Analítica. Um Tratamento Vetorial 3 ed. (São Paulo: Prentice Hall). ISBN 9788587918918.
- Lima, Elon Lages (2008). Geometria analítica e álgebra linear 2 ed. (Rio de Janeiro: IMPA). ISBN 9788524401855.
- Venturi, Jacir J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica (PDF) 8 ed. (Curitiba [s.n.]). ISBN 85.85132-48-5.
- Sebastiani, Marcos (2004). Introdução à Geometria Analítica Complexa (Rio de Janeiro: IMPA). ISBN 85-244-0218-0.
Veja também
Ligações externas
- Analytic Geometry: Capítulo sobre geometria analítica de um livro de cálculo disponível no site da Whitman College (em inglês)
Leitura complementar
- Pogorelov, A. V. (1984). Analytical Geometry (em inglês) Mir Pub [S.l.]
- Geometria Analítica Bookmann [S.l.] 2009.
FONTE: WIKIPÉDIA(AGRADECIMENTOS)
